差分约束系统

差分约束系统

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差分约束系统

题目

给出一组包含 $m$ 个不等式,有 $n$ 个未知数的形如:

$$\begin{cases} x_{c_1}-x_{c’1}\leq y_1 \x{c_2}-x_{c’2} \leq y_2 \ \cdots\ x{c_m} - x_{c’_m}\leq y_m\end{cases}$$
的不等式组,求任意一组满足这个不等式组的解。

看到这个题,我们似乎能够想到

最短路中的三角不等式$ d_v -d_u \leq w_{<u,v>} $,那么可否通过最短路来解决呢?

将每个变量看成一个顶点,设一个超级源点,它连接每个源点和他自身且边权位0.这时对每一个不等式$ x_j - x_i \leq k$连一条权值位$k$的有向边$<i,j>$

此时用$x_j$表示超级源点到$j$的最短路,由于有边$<i,j>$存在,从而有$x_j\leq x_i+k$,即为原不等式的变形

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,l,r) for(register int i=l;i<=r;++i)
#define Graph(u) for(register int i=head[u];i;i=e[i].next)//遍历图
using namespace std;
const int N=1e5+7,M = 2e5+5;
const int inf=2147483647;
int n,m;
struct Edge{
int u,v,w,next;
}e[M];
int tot,head[M];
inline void addEdge(int u,int v,int w){
e[++tot].u=u;
e[tot].v=v;
e[tot].w=w;
e[tot].next=head[u];
head[u]=tot;
}
int dis[N],vis[N],in[N];
bool spfa(int s){
memset(vis,false,sizeof(vis));
memset(dis,-1,sizeof(dis));
memset(in,0,sizeof(in));//判断负环
queue<int> q;
q.push(s);
vis[s]=true;
dis[s]=0;
in[s]++;
while(!q.empty()){
s = q.front();
q.pop();
vis[s]=false;
Graph(s){
int v = e[i].v;
if(dis[v]<dis[s]+e[i].w){
dis[v]=dis[s]+e[i].w;
vis[v]=true;
in[v]++;
q.push(v);
if(in[v]>n+1){
return false;
}
}
}
}
return true;
}
int main(){
cin>>n>>m;
FOR(i,1,m){
int u,v,w;
cin>>u>>v>>w;
addEdge(u,v,-w);//加负边
}
FOR(i,1,n){
addEdge(0,i,0);//超级源点
}
if(!spfa(0)){
cout<<"NO"<<endl;
}
else{
FOR(i,1,n){
cout<<dis[i]<<" ";
}
}
}
作者

Steve Li

发布于

2021-08-13

更新于

2022-01-22

许可协议

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