差分约束系统

封面来源

Pixiv 观雪-94973067

差分约束系统

题目

给出一组包含 $m$ 个不等式，有 $n$ 个未知数的形如：

$$\begin{cases} x_{c_1}-x_{c’1}\leq y_1 \x{c_2}-x_{c’2} \leq y_2 \ \cdots\ x{c_m} - x_{c’_m}\leq y_m\end{cases}$$ 的不等式组，求任意一组满足这个不等式组的解。

看到这个题，我们似乎能够想到

最短路中的三角不等式$ d_v -d_u \leq w_{<u,v>} $，那么可否通过最短路来解决呢？

将每个变量看成一个顶点，设一个超级源点，它连接每个源点和他自身且边权位0.这时对每一个不等式$ x_j - x_i \leq k$连一条权值位$k$的有向边$<i,j>$

此时用$x_j$表示超级源点到$j$的最短路，由于有边$<i,j>$存在，从而有$x_j\leq x_i+k$,即为原不等式的变形

代码

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66


#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,l,r) for(register int i=l;i<=r;++i)
#define Graph(u) for(register int i=head[u];i;i=e[i].next)//遍历图
using namespace std;
const int N=1e5+7,M = 2e5+5;
const int inf=2147483647;
int n,m;
struct Edge{
    int u,v,w,next;
}e[M];
int tot,head[M];
inline void addEdge(int u,int v,int w){
	e[++tot].u=u;
	e[tot].v=v;
	e[tot].w=w;
	e[tot].next=head[u];
	head[u]=tot;
}
int dis[N],vis[N],in[N];
bool spfa(int s){
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    memset(in,0,sizeof(in));//判断负环
    queue<int> q;
    q.push(s);
    vis[s]=true;
    dis[s]=0;
    in[s]++;
    while(!q.empty()){
        s = q.front();
        q.pop();
        vis[s]=false;
        Graph(s){
            int v = e[i].v;
            if(dis[v]<dis[s]+e[i].w){
                dis[v]=dis[s]+e[i].w;
                vis[v]=true;
                in[v]++;
                q.push(v);
                if(in[v]>n+1){
                    return false;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    FOR(i,1,m){
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        addEdge(u,v,-w);//加负边
    }
    FOR(i,1,n){
        addEdge(0,i,0);//超级源点
    }
    if(!spfa(0)){
        cout<<"NO"<<endl;
    }
    else{
        FOR(i,1,n){
            cout<<dis[i]<<" ";
        }
    }
}